В этой ситуации Вам, как совершеннолетнему человек и отцу, следует оплачивать "коммуналку" за себя и дочь. Более того, это Ваша обязанность по закону.

Квартира не приватизирована? Тогда вряд ли получится, разве что доказывать, что не является членом семьи и проживает в другом месте, где и должна иметь регистрацию. Если место жительства определено по месту жительства матери, то там и регистрация. Если квартира в собственности, немного проще (иначе лишить ребенка перспективы получения собственности опека не позволит).
Мать, видимо, хочет усидеть на двух стульях, чтобы и ребенок с ней жил, и еще потом что-то получить.

Что значит как быть? Вопрос то в чем? Если оснований быть зарегистрированной в этой квартире у Вашей дочери нет, есть другое место жительства, бабушка сможет в судебном порядке доказать, что человек в квартире не проживает, права собственности нет, то может быть и выпишет.

Здравствуйте! 5 раз пришлось перечитать Ваш вопрос, пока кое-что поняла..) Это старшей дочери 14 лет и она прописана с Вами у Вашей мамы( у бабушки)? Если да, то маловероятно выписать несовершеннолетнего, даже через суд. Не такие уж великие начисления идут за 1 прописанного..тем более внучка.